Storia e profilo della funzione gamma

Storia e profilo della funzione gamma

Molte persone pensano che le idee matematiche siano statiche . Essi pensano che l’idea originata nel passato storico sia rimasta invariata per il tempo futuro . Ci sono buoni motivi per pensarla così dopotutto,la formula per l’area di un cerchio era пr^2 al tempo di Euclide, ai giorni nostri è rimasta пr^2 . Chi conosce la matematica profonditamente, la materia era quasi la sensazione di una cosa vivente . Si sviluppa ogni giorno con l’aggiunta di nuove informazioni, cambia giornalmente per evolversi e per avere nuovi punti di vantaggio rispetto al mondo . Essa mantiene un equilibrio (regolatorio)  consegnando al dimenticatoio dell’irrilevanza una frazione dei suoi complementi passati . Il proposito di questo tema è di illustrare questo processo di crescita . Abbiamo selezionato un oggetto matematico, la funzione gamma e dimostrato come essa sia cresciuta in concetto e nel contesto dai tempi di Eulero al più recente trattato matematico di Bourbaki e come, in questa crescita, prese parte ad uno sviluppo generale della matematica per più di due secoli . Delle cosiddette maggiori funzioni matematiche la funzione gamma è senza dubbio la più fondamentale . E’ molto semplice per giovani collegiali incontrare questa funzione ma essa è abbastanza complessa da richiedere ulteriori contributi ai migliori matematici . Essa è sufficientemente compatta per poter riassumere il suo profilo in un breve tema . L’anno 1729 vide la nascita della funzione gamma in corrispondenza tra un matematico svizzero e un matematico tedesco . Il primo Leonard Eulero (1707-1783) che all’età di 22 anni divenne il miglior matematico del XVIII°  secolo . Il secondo Cristian Goldbach (1690-1764) persona colta e talentuosa che era in corrispondenza con i migliori matematici della sua epoca . Come matematico fu pressappoco un dilettante ma ora l’eredità che lasciò al futuro, un problema della teoria dei numeri così semplice da applicare ma così difficile da dimostrare che ancora ai giorni nostri è rimasto agli orizzonti della matematica .  La nascita della funzione gamma ebbe il merito di far emergere molte correnti matematiche . La prima era quella della teoria dell’interpolazione, una materia molto pratica ampiamente prodotta dai matematici inglesi del XVII° secolo, ma che tutti i matematici hanno gradito molto nei tempi avvenire . La seconda corrente era quella del calcolo integrale e della sistematica costruzione delle formule integrali indefiniti, un processo che andò avanti per molti anni. Un semplice problema di interpolazione venne svolto con insuccesso da Goldbach e da Daniel Bernoulli (1700-1784) e precedentemente da James Stirling (1692-1770), il problema venne posto ad Eulero, esso enunciò la soluzione a Goldbach in due lettere, le quali sono state l’inizio di un intensa corrispondenza che durò fino alla morte di Goldbach . La prima lettera datata 13 ottobre 1729 trattava del problema dell’interpolazione mentre la seconda datata 8 gennaio 1730 trattava dell’integrazione e avvicinò i due matematici. . Eulero scrisse a Goldbach una semplice descrizione ma nell’anno stesso pubblicò tutti i dettagli in un articolo De progressionibus trascendentibus seuy quorum termini generales algebraice dari nequeunt . Quest’articolo può essere trovato ristampato nel volume primo dell’opera omnia di Eulero . Dato che il problema dell’interpolazione è più semplice iniziamo con quello ma delle più semplice seguenze di numeri interi che porta ad un interessante teoria è: 1, 1 + 2, 1+ 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, …................ . Questi sono i numeri triangolari così chiamati perché essi rappresentano il numero di oggetti che possono essere posti in un array triangolare di varie misure . L’ennesima viene chiamata Tn . Esiste una formula per Tn che s’impara nell’algebra scolastica:

Tn = ½ n (n + 1) . Che compito ha precisamente questa formula? In primo luogo essa semplifica la computazione riducendo larghe addizioni di numeri a tre operazioni fisse: una di addizione, una di moltiplicazione e una di divisione . Così invece di addizionare i primi cento interi ed ottenere T100 possiamo compiere T100 = ½ 100 (100 + 1) = 5050 . Il secondo, anche se non ha letteralmente senso di chiederlo, diciamo la somma dei primi 5 1/2 interi, la formula di Tn produce risposta per essa T5 1/2 = ½ (5 1/2) (5 1/2 + 1) = 17 7/8 . In questo modo la formula estende lo scopo al problema originario e risolve il problema della interpolazione tra i valori elementari conosciuti . questo tipo di domanda che richiede un estensione di significato venne posta frequentemente nel XVII° e XVIII° secolo, consideriamo per un istante l’algebra degli esponenti . La quantità a^m è definitia inizialmente come il prodotto di m successivo di a . Questa definizione ha significato quando m è un intero positivo, ma cosa sarebbe a^(5 ½)? Il prodotto di 5 ½ è successione di a? Le misteriose definizioni       a^0 = 1   ,  a^(m/n)  =  na^m   ,   a^(-m) = 1/a^m    che risolvono questo enigma e che sono impiegate così produttivamente nell’algebra furono scritte esplicitamente da Newton nel 1776 . esse sono giustificate dall’utilità che deriva dal fatto che la definizione porta acontinue funzioni esponenziali e che la legge degli esponenti   a^m  a^n = a^(m+n)  diventa d’importanza per gli esponenti positivi interi e non . Altri problemi di questo tipo si provano con maggior difficoltà . Per questo Liebnitz produsse la nozione d^n per la derivata ennesima . Più in là egli identificò d^-1 come l’integrale e d^-n come l’ennesimo integrale poi egli provò a generare qualche senso del simbolo d^n quando n assume un qualsiasi valore . Che cos’è perciò la 5 ½ esima derivata? Questa domanda ha dovuto aspettare circa due secoli per avere una risposta soddisfacente.

Ma ritorniamo alla nostra sequenza triangolare di numeri . Se cambiassimo il segno di addizione con il segno di moltiplicazione otteremmo una nuova sequenza: 1, 1 * 2, 1 * 2 * 3. 1 * 2 * 3 * 4, ………. questa è la sequenza dei fattoriali . I fattoriali sono di solito abbreviati 1!, 2!, 3!, 4!. ……… e i primi cinque sono 1, 2, 6, 24, 120 . Essi crescono molto rapidamente . Il numero 100! Se sviluppato avrebbe centocinquantotto cifre . Il contrasto T100 = 5050 ha solo quattro cifre . I fattoriali sono onnipresenti in matematica; non è possibile aprire una pagina di analisi matematica senza trovarli . E’ questo il caso in cui è possibile ottenere una facile formula per computare i fattoriali? E’ possibile interpolare i fattoriali? Che sarebbe 5 e ½ fattoriale? Questo problema di interpolazione che ci conduce alla funzione gamma è il problema di interpolazione di Stirling, di Bernoulli e di Goldbach . Come sappiamo questi due problemi sono correlati , per quanto uno ha una formula esiste l’interessante possibilità del valore intermedio in essa e adesso viene la cosa sorprendente . Non vi è, infatti non può esistere, una formula per i fattoriali di semplice tipo come quella trovata per Tn . Ciò è implicito nel vero titolo di Eulero scelto per il suo articolo . Tradotto dal latino abbiamo su progressioni trascendentali, il cui termine generale non può essere espresso algebricamente . La soluzione dell’interpolazione fattoriale giace più in profondità dell’algebra . Abbiamo bisogno di infiniti processi . In modo da comprendere un po meglio il problema con cui si è confrontato Eulero è utile andare oltre e formularlo in modo più attuale: trovare una funzione ragionevolmente più semplice che per gli interi 1, 2, 3, …………… assuma sui fattoriali 1, 2, 6,  …............ . Oggi una funzione è una relazione tra due serie di numeri a cui per un numero della prima serie corrisponde un numero della seconda serie . Ciò che preme è la relazione e non la natura delle regole che serve per determinare la relazione per aiutare gli studenti a visualizzare il concetto di funzione in tutaa la sua generalità gli insegnanti di matematica di solito disegnano una curva piena di torsioni e di discontinuità . Più sono questi e più generale è la funzione, dati poi i punti (1,1), (2,2), (3,6), (4,24), …………. e adottando il punto di vista laddove la funzione è ciò che abbiamo appena detto, il problema di interpolazione è quello di trovare una curva che passi attraverso i punti dati ciò è molto semplice da risolvere . Può essere fatto in un illimitato numero di modi . Si prende una penna e si disegnano alcune curve qualunque esse siano che risolvono l’interpolazione del problema . In questo modo, per liberare un comportamento che costituisce una funzione risolve il problema trivialmente e arricchirà di poco la matematica . Il metodo di Eulero era differente agli inizi del XVIII° secolo, una funzione era sinonimo di formula, e con formula si intendeva un espressione che poteva essere derivata dalle elementari manipolazioni con addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziale, radicale, potenza, logaritmo, differenziale, integrazione, serie con termini infiniti, le quali provenivano dagli ordinari processi dell’analisi matematica . Tale formula veniva chiamata espressione analitica . Il metodo di Eulero era di trovare, se poteva, una espressione analitica derivante naturalmente dal corpus della matematica che produrrà fattoriali quando veniva inserito un intero positivo ma che rimanesse comprensivo per altri valori della variabile . E’ difficile mettere in cronologia l’esatto corso della ricerca scientifica . Ciò è particolarmente vero nella matematica ove si omette tradizionalmente dagli articoli e dai libri tutte le aggiunte dei falsi inizi, degli anni iniziali, della costruzione e dove si sia evoluto un argomento in avanti, indietro, per vie traverse, in modo da nascondere l’effetto drammatico .  Una volta che un matematico lo impone, il risultato matematico deve apparire per lostudente come un deus ex machina per verificare e accettare ma non comprendere . Apparentemente, Eulero sperimentando con infiniti prodotti di numeri, noto che se n è un intero positivo vale  

      

Lasciando a parte tutte le questioni delicate come la convergenza del prodotto infinito il lettorer può verificare di quest’equazione cancellando via tutti i fattori comuni che appaiono sopra e sotto la parte di sinistra . Più in là il termine di sinistra è definito per tutti i tipi di n anche per gli interi negativi . Eulero notò inoltre che quando viene inserito il valore n = ½ appare sulla parte destra il famoso prodotto infinito dell’inglese John Wallis (1616-1703):

Con questa scoperta Eulero si sarebbe potuto fermare poiché il suo problema era risolto . Infatti la teoria completa della funzione gamma può essere basata sul prodotto infinito (1) che oggi viene scritto più convenzionalmente come:

Ad ogni modo egli continuò . Egli osservò che il suo prodotto mostrava il seguente curioso fenomeno: per alcuni valori di n, chiamati interi, apparivano interi come per un altro valore chiamato n = ½ appariva un espressione contenente п . Adesso  п significava cerchi e la loro quadratura significava integrale ed egli era esperto di integrali che esibivano lo stesso fenomeno perciò gli servì cercare una trasformazione che gli permettesse di esprimere il suo risultato come un integrale . Egli prese l’^n dx . Un caso semplice del precedente integrale fu discusso precedentemente da Wallis, da Newton e da Stirling era un integrale molto difficoltoso, per gli integrali indefiniti non esisteva sempre una funzione elementare di x . Assumendo che n sia un intero ma che e sia un valore arbitrario, Eulero espanse (1 – x)^n con il teorema binomiale e senza difficoltà trovò che

L’idea di Eulero era ora di isolare 1* 2 * 3 …………. * n dal denominatore così che egli avesse un espressione per n! come un integrale . Egli procedette in questo modo: sostituì f/g per e e trovò

E così,

Egli osservò che poteva isolare 1 * 2 * 3 * ……………….. * n se metteva f = 1, g = 0 nel termine di sinistra ma che se avesse fatto così avrebbe ottenuto nel temine di destra un indeterminato da cui egli scrisse qualitativamente come

e procedette per trovare il valore dell’espressione (7)* . Prima sostituì x^(g/(f + g)) al posto di x . Ciò gli diede

al posto di dx ed ora, il membro di destra della (6)* diviene

Ancora una volta Eulero impone f = 1, g = 0 avendo presumibilmente prima ridotto questo integrale a

e ciò diede l’integrale indeterminato

Considerò poi l’espressione relativa (1 – x^z)/z  per far scomparire z . Differenziò il numeratore dal denominatore, come egli dice, da una nota regola dell’Hospital ed ottenne

che per z = 0 produce – ln . Così concluse che,

e

Egli concluse che

Questo gli diede quello che desiderava, un espressione per n! come un integrale in cui possono essere sostituiti altri valori oltre a quelli interi positivi . Il lettore è incoraggiato a formulare la propria opinione sulla derivazione di Eulero . Gli studenti di calcolo avanzato incontrano  generalmente l’integrale di Eulero nella forma

Questa modifica dell’integrale (15) come anche la г greca è opera di Adrien Marie Legendre (1752-1833) . Legendre  chiama l’integrale (4), con il quale Eulero ha iniziato la sua derivazione, primo integrale euleriano ed il (15) secondo integrale euleriano . Il primo integrale euleriano è conosciuto oggi come funzione Beta e viene scritto convenzionalmente

Con i mezzi disponibili nel calcolo avanzato è stato stabilito che l’integrale possiede significato quando x > 0 e in questo modo da una certa funzione г(x) definita per questi valori . Dunque

ogni volta che n è un intero positivo . Inoltre si è stabilito che per ogni x > 0 vale

Questa è la così chiamata relazione ricorrente per la funzione gamma e negli anni seguenti ad Eulero avrà, come vedremo un ruolo molto importante nella sua teoria . Questi fatti, e forse anche la relazione tra i due tipi di integrali di Eulero

e tutte  le più importanti formule di Stirling

che ci danno un’approssimata espressione relativamente semplice per г(x) quando x è grande, sono circa tutto quello che gli studenti di calcolo avanzato imparano sulla funzione gamma . Il desiderio di estendere a valori tra gli interi porta alla scoperta della funzione gamma, la necessità di estendere quanto detto a valori negativi e complessi porta ad una evoluzione ed a una più profonda interpretazione . Cos’è il valore di (-51/2)!? Cos’è il valore di ()? Nei primi del XIX° secolo la ricerca si spostò sul campo dei complessi e lì divenne parte dello sviluppo generale della teoria delle funzioni delle variabili complesse, ciò formo uno die maggiori capitoli della matematica . Lo spostamento nel campo dei complessi fu iniziato da Friedrich Gauss (1777-1855) che iniziò, a partire con i risultati di Eulero . Molti nomi famosi sono coinvolti su più livelli di ricerca . Ci vorrà molto tempo prima di poter descrivere i passi in avanti . Ora conosciamo tre fatti importanti: l’integrale di Eulero, il prodotto di Eulero, la relazione x г(x) = г(x + 1), x > 0 . Quest’ultimo è la generilazione dell’ovvio fatto aritmetico che per gli interi positivi (n + 1) n! = (n + 1)! Questa è una relazione particolarmente utile finchè ci permette di applicarla per ridurre il problema di stimare un fattoriale di un reale arbitrario e il fattoriale di un numero appropriato tra 0 e 1 . In questo modo se noi scrivessimo n = 41/2 nella formula precedente otterremmo (41/2 + 1)! = 51/2(41/2)! Se potessimo trovare solamente il valore di (41/2)! Allora sapremmo quanto vale (51/2)! . Questo processo di riduzione da numeri più bassi ci da

e finché noi abbiamo (1/2)! = 1/2  dalla (1) e la (2) noi possiamo risolvere il nostro problema . Quanto mostrato è ovviamente molto per chiunque debba fare dei calcoli sulla funzione gamma . Altre informazioni si ricavano dalle ricorrenti relazioni . Sebbene la formula (n + 1) n! = (n + 1)!, come riassunto dall’identità aritmetica (n + 1) *1 * 2 * ……… * n = 1 * 2 * …….. * n (n + 1) ha senso solo * n = 1, 2, ………, impedisce un inserzione di altri valori e produce un risultato interessante . Così inserendo n = 0 otteniamo 0! = 1 . Inserendo successivamente n = -51/2, n = -41/2, ………. e riducendo verso l’alto, scopriamo

dato che noi sappiamo già quanto vale (1/2)! possiamo risolvere (-51/2)! . In questo modo la ricorrente relazione ci permette di risolvere valori di numeri fattoriali negativi . Ritornando all’integrale di Gauss può esse mostrato che per valori di variabili minori di zero l’ usuale teorema dell’analisi non basta per assegnare un significato all’integrale per questo è divergente . Da altra parte è significativo e da un valore, se si sostituisce per x un qualunque numero complesso della forma a + ib dove a > 0 . Con tale sostituzione l’integrale perciò da una funzione complessa che è definita per ogni numero complesso giacente sulla parte destra del piano gaussiano e che coincide con la funzione gamma ordinaria per i valori reali . Con l’eccezione dei valori 0, -1, -2, ……. Qualunque numero complesso può essere inserito per la variabile e il prodotto infinitesimo convergerà a un valore . Il metodo dei numeri trovato è concettualemente e operazionalmente differente per l’estensione della definizione del dominio della funzione gamma . Questo differente metodo ci da lo stesso risultato? Lo da . Ma perché? La risposta dev’essere cercata nella nozione di funzione analitica . Questo è il punto focale della teori delle variabili complesse delle funzioni ed è l’evoluzione della nozione dell’espressione analitica antica . I primi matematici non erano completamente a conoscenza di questa nozione  . Le funzioni analitiche non hanno comportamento così arbitrario . Al contrario possiedono un forte legame interno . Il comportamento di una funzione analitica su un intervallo troppo piccolo non è sufficiente per determinare completamente il suo comportamento ovunque . Il suo potenziale campo di definizione e i suoi valori sono teoricamente ottenibili da questa informazione . Molte funzioni analitiche omettono le principali relazioni funzionali di permanenza; se una funzione analitica in alcune porzioni della sua regione di definizione soddisfa una certa relazione funzionale all’ora deve soddisfarla in tutto il suo dominio, una tale relazione può essere impiegata per estendere la sua definizione su regioni sconosciute . La nostra comprensione del processo di continuità analitica è basato sul lavoro di Bernhard Riemann (1826-1866) e Karl Weierstrass (1815-1897) . La funzione con valori complessi che risulta dalla sostituzione di numeri complessi nell’integrale di Eulero è una funzione analitica . La funzione che emerge dal prodotto di Eulero è una funzione analitica . La ricorrente relazione per la funzione gamma se soddisfa in alcune regioni deve essere soddisfatta in tutte le altre regioni in cui la funzioni può essere analiticamente continua e infatti può essere usata per effettuare tale estensione . Tutte le porzioni del piano complesso con l’eccezione dei valori 0, -1, -2, …….. sono accessibili per la funzione gamma complessa che è diventata l’unica estensione analitica per i valori complessi dell’integrale di Eulero (figura 3) .

Per comprendere perché devono essere esclusi i punti si osservi che г(x) è uguale г(x + 1) / x   e quando x tende a 0 otteniamo г (0) = 1/0 . Questo è + ∞ o - ∞ dipendente da dove si tende allo zero se da sinistra o da destra . L’equazione funzionale (19) induce questo comportamento per ogni intero negativo . La vera funzione gamma è compresa tra un numero infinito di punti di discontinuità con intervallo semiaperto . Le porzioni corrispondenti a i numeri negativi sono ognuna schiacciata in una striscia infinita di un unità, ma la porzione maggiore che corrisponde alla x > 0 e che contiene i fattoriali è infinito così vi sono punti esclusi per la funzione gamma nei quali essa esibisce per il modo ordinato di vedere uno spiacevole e capriccioso comportamento .

Ma dal punto di vista dei complessi questi punti di singolare comportamento meritarono uno studio speciale e diventarono un importante parte della storia nel diagramma della funzione gamma dei complessi essi tendono all’infinito come delle stalagmiti ognuna di queste infinite grandezze che diventano sempre più aghiformi andando all’infinito . Essi sono conosciuti come poli . I poli sono punti dove la funzione ha un comportamento infinito di tipo particolarmente speciale, un comportamento che ricorda un tale semplice funzione è quello dell’iperbole y = 1/x  intorno ad x = 0 oppure y = tgx  intorno ad x = п/2 . La teoria delle funzioni analitiche è particolarmente interessante nel comportamento singolare e dedica molto spazio agli studi delle singolarità . Le funzioni analitiche possiedono molti tipi di singolarità, ma quelle con poli unici sono conosciute come meromorfiche . Vi sono anche funzioni che non possiedono singolarità per argomenti infiniti . Tali funzioni formano un elite e sono conosciute come funzioni intere . Appartengono ai polinomi mentre le funzioni meromorfiche appartengono ai polinomi razionali . La funzione gamma è meromorfica . Il suo reciproco,  1/г(x), non ha contrariamente punti di esclusione .  Non vi sono problemi ovunque . Nei punti  0, -1, -2, ………. tende a zero . Il valore zero che ricorre infinite volte, è fortemente riminiscente dal segno . Nell’estensione al caso dei complessi emergono molte identità rimarcabili, e anche se alcune di queste possono e sono state ottenute senza riferimenti alle

variabili complesse, esse acquisiscono un più profondo e ricco significato quando vengono guardate dal punto di vista dell’estensione . Esiste la formula di riflessione di Eulero

E’ già stato mostrato, usando la ricorrente relazione della funzione gamma, che il prodotto 

г(z)г(1 – z)  è una funzione periodica di periodo 2; ma rispetto al fatto che sin(пz) sia una delle più semplici funzioni periodiche, chi può aver anticipato la relazione (24)? Cosa ha a che fare dopotutto la trigonometria con la sequenza  1, 2, 6, 24  che ha iniziato la nostra discussione?  Qui vi è un esempio significativo . da l punto di vista dei complessi una ragione parziale per l’identità giace nella similitudine tra gli zeri dei segni e i poli della funzione gamma . Esiste una formula di duplicazione

scoperta da Legendre ed estesa da Gauss nelle sue ricerche sulla funzione ipergeometrica alla formula di moltiplicazione

Vi sono molte formule per derivare la funzione gamma come

Questo è un esempio di tipi di serie infinite di cui G. Mittag-Leffler (1846-1927) più tardi creò la sua teoria delle parzialmente fratte evoluzioni delle funzioni meromorfiche . Vi è una stretta relazione tra la funzione gamma e la funzione zeta la quale è stata di fondamentale importanza per studiare la distribuzione dei numeri primi,

dove

Questa formula ha relazioni storiche interessnti . e’ stata provata per la rpima volta da Riemann nel 1859 e viene convenzionalmente attribuita a lui . Nel 1894 venne scoperto che una versione modificata dell’identità era apparsa in alcuni lavori di Eulero che risalgono al 1749 . Eulero non reclamò la scoperta della formula . Ad ogni modo egli la verificò per gli interi per ½ e per 3/2 . La verifica per ½ è condotta per sostituzione ma per tutti gli altri valori Eulero lavorò con serie divergenti . Ciò accadde più di cento anni prima della teoria definitiva di tali serie, ma con sola intuizione, egli procedette a sommarle con quello che adesso viene chiamato metodo di addizione di Abel . Il caso dei 3/2 è anche più interessante, utilizzando entrambe le serie divergenti e le valutazioni numeriche egli trovò in modo numerico fino a cinque cifre decimali tutto questo lavoro lo convinse della validità della sua identità . La prova rigorosa moderna non necessità della teoria delle serie divergenti ma sono cruciali le nozioni di continuità analitica . In previsione di unità essenziali della funzione gamma su tutto il campo dei complessi è teoricamente  ed essenzialmente importante aver una formula che lavori per tutti i numeri complessi, tale formula è stata aggiunta nel 1848 da F. W. Newman:

Questa formula è essenzialmente una frazione di 1/г(z)  ed è molto simile ad una frazione di polinomi . Essa mostra chiaramente dove la funzione scompare . Inserendo ogni fattore uguale a zero troviamo che 1/г(z)  è uguale a zero per z = 0, -1, -2 ………… nelle mani di Weierstrass divenne il punto d’inizio per la discussione particolare della funzione gamma

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